C++找最大公因數

在C++中，你可以使用多種方法來找出兩個或多個整數的最大公因數（Greatest Common Divisor, GCD）。以下是幾種常見的方法：

1. 輾轉相除法（Euclidean algorithm）： 這是計算兩個整數GCD的標準算法。它通過不斷將除數和餘數交換位置，直到餘數變為0，此時除數即為GCD。

   int gcd(int a, int b) {
       while (b != 0) {
           int t = a % b;
           a = b;
           b = t;
       }
       return a;
   }

2. 歐幾里得算法（Euclidean Extended algorithm）： 這個算法不僅可以找到兩個整數的GCD，還可以找到它們的線性組合，即滿足 a = x b + y gcd(a, b) 的整數 x 和 y。

   int gcd(int a, int b) {
       while (b != 0) {
           int t = a % b;
           a = b;
           b = t;
       }
       return a;
   }
   
   std::pair<int, int> extended_gcd(int a, int b) {
       while (b != 0) {
           int t = a % b;
           a = b;
           b = t;
           int x = 1, y = 0;
           if (t != 0) {
               int old_x = x;
               x = y;
               y = old_x - y * (a / b);
           }
       }
       return std::make_pair(a, x);
   }

3. 質因數分解法： 這種方法將每個數分解成質因數的乘積，然後找到共同的質因數，最後將這些質因數的乘積作為GCD。

   int gcd(int a, int b) {
       std::vector<int> pa, pb;
       for (int i = 2; i * i <= a; ++i) {
           if (a % i == 0) {
               while (a % i == 0) {
                   a /= i;
               }
               pa.push_back(i);
           }
       }
       if (a != 1) {
           pa.push_back(a);
       }
       for (int i = 2; i * i <= b; ++i) {
           if (b % i == 0) {
               while (b % i == 0) {
                   b /= i;
               }
               pb.push_back(i);
           }
       }
       if (b != 1) {
           pb.push_back(b);
       }
       int gcd = 1;
       for (int i : pa) {
           for (int j : pb) {
               gcd = std::max(gcd, std::min(i, j));
           }
       }
       return gcd;
   }

4. 快速GCD算法： 這是一種最佳化後的輾轉相除法，可以在O(log(max(a, b)))時間內找到GCD。

   int gcd(int a, int b) {
       while (b != 0) {
           int t = a % b;
           a = b;
           b = t;
           if (t == 0) {
               return a;
           }
           a /= t;
           b /= t;
       }
       return a;
   }

選擇哪種方法取決於你的具體需求和效率要求。對於大多數情況，輾轉相除法是最簡單和最有效的。