避圈法求最小生成樹

避圈法（Prim's Algorithm）是一種常用的求解最小生成樹的方法。這種方法的基本思想是從圖中的一個頂點開始，每次選擇與已選擇的頂點集合距離最短的未被選擇的頂點加入集合，直到所有頂點都被選擇。

以下是避圈法的基本步驟：

1. 初始化：選擇圖中的一個頂點，將其加入已選擇的頂點集合，並初始化最小生成樹為包含該頂點的邊集。
2. 遍歷：從剩餘的未選擇的頂點中，選擇一個與已選擇的頂點集合中所有頂點的距離最小的頂點，將其加入已選擇的頂點集合。重複此步驟，直到所有頂點都被選擇。
3. 驗證：檢查已選擇的頂點是否構成了樹的環。如果是，那麼重新選擇一個頂點加入並重複上述步驟；如果不是，則輸出最小生成樹。

避圈法的時間複雜度為 O(ElogE)，其中 E 是邊的數量。這是因為每次選擇新的頂點時，需要遍歷所有與當前集合中的頂點之間的邊，並找到距離最小的邊。這種方法的空間複雜度為 O(V)，其中 V 是頂點的數量。

避圈法是一種簡單且易於實現的方法，適用於具有稀疏和較小權重的圖。然而，對於大規模和高權重的圖，其他算法可能更有效。