正規分佈最尤推定

正規分佈（Normal distribution）也稱為高斯分佈（Gaussian distribution），是一種連續型分佈，由數學家棣莫弗（De Moivre）和 statistician 高斯（Gauss）分別獨立發現。正規分佈可以用一個參數 µ（平均數）和一個參數 σ（標準差）來描述，其機率密度函數為：

f(x) = (1 / σ√(2π)) * exp(-((x - µ)^2) / (2σ^2))

其中，µ是分佈的平均數，σ是標準差，x是任意一個可能出現的值，π是圓周率。

在統計學中，當我們有樣本數據時，我們可以使用正規分佈來進行最尤推定（Maximum Likelihood Estimation, MLE）來估計分佈的參數 µ 和 σ。最尤推定是統計學中的一種方法，它通過最大化後驗機率來估計參數的值。在正規分佈的情況下，這意味著我們需要找到能夠最大化樣本數據出現機率的 µ 和 σ 值。

假設我們有一組樣本數據 x1, x2, ..., xn，這些數據來自一個正規分佈，我們想要估計這個分佈的參數 µ 和 σ。我們可以使用以下公式來計算 MLE 估計值：

  1. 平均數的 MLE 估計值（µ）： [ \hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i ]

  2. 標準差的 MLE 估計值（σ）： [ \hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \hat{\mu})^2 ]

這裡，( \hat{\mu} ) 是平均數的估計值，( \hat{\sigma} ) 是標準差的估計值。

請注意，這些估計值是基於樣本數據的，因此它們可能不精確等於真實的參數值。隨著樣本量的增加，這些估計值會變得更加準確。