最小多項式定義

最小多項式（Minimal Polynomial）是代數數論中的一個基本概念，它用於描述一個數字在某個數域內的行為。給定一個數字 \alpha 在數域 F 中，最小多項式是這樣的單變量多項式 f(x)，它滿足以下條件：

f(x) 不可約（irreducible），即它不能被任何除常數項以外的多項式整除。
f(x) 將 \alpha 映射到零，也就是說 f(\alpha) = 0。
對於任何其他滿足條件 2 的多項式 g(x)，都有 g(x) 是 f(x) 的倍數。

換句話說，最小多項式是關於 \alpha 的最高次不可約多項式，使得 \alpha 成為這個多項式的根。

最小多項式有幾個重要的性質：

最小多項式是唯一的，因為滿足條件 1 和 2 的多項式只有一個。
最小多項式可以確定 \alpha 在 F 中的擴展域的大小，即 \alpha 的根的次數（degree）就是擴展域的大小。
最小多項式可以用來表示 \alpha 作為一個多項式的根的係數的組合。

在實數域 \mathbb{R} 或複數域 \mathbb{C} 中，任何數字的最小多項式都是一次的，因為這些域都是代數閉域。但在一般的數域 F 中，最小多項式可能會很高次。

例如，考慮 \sqrt{2} 作為 \mathbb{Q}（有理數域）中的代數數。\sqrt{2} 的最小多項式是 f(x) = x^2 - 2，因為這是一個不可約的多項式，且 \sqrt{2} 的平方等於 2，即 f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^2 - 2 = 2 - 2 = 0。任何其他滿足條件 2 的多項式 g(x) 都必須是 f(x) 的倍數，因為 f(x) 是不可約的。因此，\sqrt{2} 的最小多項式就是 x^2 - 2。