最小上界公理

最小上界公理（Least Upper Bound Axiom）是實數系統中的一個重要公理，也稱為完備性公理。這個公理保證了實數系統的一些基本性質，特別是在處理實數集合的上界和最小上界時非常有用。

最小上界公理的表述如下：

對於任何非空實數集合S，如果S中有上界，那麼S有一個最小上界。

這裡，一個實數集合S的上界是指一個實數b，使得對於S中的所有實數x，都有x ≤ b。最小上界是指所有上界中的最小者。如果S沒有上界，那麼最小上界公理不適用。

最小上界公理是實數系統的一個基本性質，它保證了實數系統在處理最值問題時的完備性。例如，它可以用來證明實數集的閉區間是有界閉集，因為對於任何閉區間[a, b]，它的最小上界就是b，最大下界就是a。

最小上界公理是數學分析中的一個基本工具，它在實數集上的連續函式的性質、積分理論、極限理論等方面都有廣泛的套用。