最大公約數計算

最大公約數（Greatest Common Divisor，GCD），也稱為最大公因數，是指兩個或更多整數共有因數中最大的那一個。計算最大公約數有許多方法，以下是其中幾種常見的方法：

1. 質因數分解法： 將每個數分解為質因數的乘積，然後找出所有出現的質因數，並將它們相乘。

   例如，要找出24和36的最大公約數，我們將它們分解為質因數： 24 = 2^3 3^1 36 = 2^2 3^2 最大公約數是2^2 * 3^1 = 12。

2. 長除法： 使用長除法來找出兩個數的最大公約數。每次將除不盡的餘數作為新的被除數，直到餘數為0為止。最後的除數就是最大公約數。

   例如，要找出12和18的最大公約數，我們可以這樣做： 18 ÷ 12 = 1 R 6 12 ÷ 6 = 2 所以，最大公約數是6。

3. 歐幾里得算法（Euclidean algorithm）： 這是計算兩個整數最大公約數的一種高效算法，其基本思想是： a. 用較小的數字b除以較大的數字a，得到余數c。 b. 如果c = 0，則a是最大公約數；否則，用b替換a，用c替換b，重複步驟a和b，直到余數為0。

   例如，要找出100和42的最大公約數，我們可以這樣做： 100 ÷ 42 = 2 R 16 42 ÷ 16 = 2 R 10 16 ÷ 10 = 1 R 6 10 ÷ 6 = 1 R 4 6 ÷ 4 = 1 R 2 4 ÷ 2 = 2 因為余數不再為0，所以我們反轉過程： 2 ÷ 4 = 0 R 2 4 ÷ 6 = 0 R 4 6 ÷ 10 = 0 R 6 10 ÷ 16 = 0 R 10 16 ÷ 42 = 0 R 16 42 ÷ 100 = 0 R 42 所以，最大公約數是2。

4. 輾轉相除法（輾轉相除法是歐幾里得算法的一種實現方式）： a. 用較小的數字除以較大的數字，得到余數。 b. 用余數替換較小的數字，用除數替換較大的數字，重複步驟a，直到余數為0。

   例如，要找出100和42的最大公約數，我們可以這樣做： 100 ÷ 42 = 2 R 16 42 ÷ 16 = 2 R 6 16 ÷ 6 = 2 R 4 6 ÷ 4 = 1 R 2 4 ÷ 2 = 2 因為余數不再為0，所以我們反轉過程： 2 ÷ 4 = 0 R 2 4 ÷ 6 = 0 R 4 6 ÷ 16 = 0 R 6 16 ÷ 42 = 0 R 16 42 ÷ 100 = 0 R 42 所以，最大公約數是2。

這些方法都可以用來計算兩個整數的最大公約數。對於較小的數字，長除法可能更直觀，但對於較大的數字，歐幾里得算法和輾轉相除法通常更高效。