多目標最佳化問題

多目標最佳化問題（Multi-objective optimization problem, MOP）是指同時考慮多個目標函數的優化問題。這些目標函數可能會相互衝突，因此不可能同時最大化或最小化所有的目標函數。在這種情況下，解決多目標最佳化問題的目標是找到一個帕累托解（Pareto optimal solution），即一個在所有目標上都無法被單獨改進的解。

例如，考慮一個製造企業的生產計劃問題，它需要同時考慮成本、質量和交貨時間。降低成本可能會影響質量，而提高質量則可能會增加成本和延長交貨時間。這種情況下，就需要找到一個平衡點，使得在所有目標上的損失最小化。

多目標最佳化問題可以分為幾種類型：

1. 連續多目標最佳化問題：目標函數和/或約束函數是連續的。
2. 離散多目標最佳化問題：目標函數和/或約束函數需要在離散的點上進行評估。
3. 混合多目標最佳化問題：目標函數和/或約束函數同時包含連續和離散的部分。

解決多目標最佳化問題的方法包括：

1. 傳統最佳化方法：如梯度下降法、遺傳算法、粒子群優化等。這些方法可以幫助找到一個或多個局部最優解。
2. 多目標演算法：如非支配排序遺傳算法（NSGA-II）、 Strength Pareto Evolutionary Algorithm（SPEA）、多目標粒子群優化（MOPSO）等。這些演算法專門設計用於尋找帕累托前沿。
3. 決策分析方法：如ELECTRE、PROMETHEE等。這些方法使用決策者的偏好來排序和選擇解。

在解決多目標最佳化問題時，通常會產生一個解集，而不是單一的解。這些解代表了不同的權衡方案，決策者可以根據自己的偏好從中選擇最合適的方案。