均值不等式求最值

均值不等式（又稱作平均值不等式）是數學中的一種不等式，用於比較兩個數的和與它們的平均值的大小關係。最常見的均值不等式是以下兩個：

1. 算術平均值不等式：對於任意兩個正數 a 和 b，有 [ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} ] 若且唯若 a = b 時，等號成立。

2. 幾何平均值不等式：對於任意兩個正數 a 和 b，有 [ \sqrt{ab} \geq \frac{a + b}{2} ] 若且唯若 a = b 時，等號成立。

這兩個不等式可以通過柯西-施瓦茨不等式來證明。

使用均值不等式求最值的問題通常涉及找到某個函式的最大值或最小值。這類問題通常可以通過以下步驟來解決：

1. 識別問題中的變數和目標函式。
2. 確定函式的最值是通過哪個量來實現的。
3. 使用均值不等式來找到最值。

例如，考慮以下問題：求函式 f(x) = x^2 + 4x + 5 的最小值。

我們可以將 f(x) 分解因式得到 f(x) = (x + 2)^2 + 1。

現在，我們可以使用算術平均值不等式來找到最小值。考慮 a = x + 2，b = 1，則有 [ \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{ab} ] 即 [ \frac{x + 2 + 1}{2} \geq \sqrt{(x + 2)(1)} ] 化簡得到 [ \frac{x + 3}{2} \geq \sqrt{x + 2} ]

因此，若且唯若 x + 2 = x + 3 時，等號成立，即 x = -1 時，函式 f(x) 有最小值。

在實際套用中，均值不等式可以用來解決許多最佳化問題，尤其是在求解函式的最值時。然而，需要注意的是，均值不等式並不是萬能的，對於某些問題可能需要更複雜的數學工具。