和一定平方和最大

這個問題通常被稱為「和的平方和最大」問題，而不是「和一定平方和最大」。這是一個最佳化問題，目標是找到兩個數（或者更多數）的和一定時，它們的平方和最大。

這個問題可以通過求解二次方程來找到答案。設這兩個數為x和y，它們之和為S，即x + y = S。我們需要找到x和y的值，使得x^2 + y^2最大。

根據均值不等式，若且唯若x = y時，x^2 + y^2取得最大值。但是，這個條件只有在S是偶數時才成立，因為如果S是奇數，那麼x + y = S意味著x和y中必須有一個是S/2，而另一個是不等於S/2的數，這樣x^2 + y^2的值就不會是最大的。

因此，當S是偶數時，最大平方和是(S/2)^2 + (S/2)^2 = S^2 / 2。

當S是奇數時，最大平方和可以通過將S分解為一個數和其相反數的和來找到，即S = x + (-x)，其中x是S除以2再加1的值。因此，x = (S + 1) / 2，y = -x，此時x^2 + y^2 = x^2 + (-x)^2 = 2x^2 = (S + 1)^2 / 2。

綜上所述，對於任意整數S，最大平方和的表達式是：

如果S是偶數，則最大平方和為S^2 / 2。 如果S是奇數，則最大平方和為(S + 1)^2 / 2。