全順序集合最小元
在數學中，全序集合（totally ordered set）是指滿足以下條件的一個集合：
- 集合中的任意兩個元素都可以通過一個全序關係進行比較。
- 集合中的任意三個元素滿足傳遞性條件：如果 a <= b 且 b <= c，那麼 a <= c。
在這樣一個全序集合中，最小元（minimum）是指集合中任意元素都不小於它的元素。也就是說，對於全序集合 S 中的任意元素 x，都有 x >= min(S)。
最小元的存在性是一個重要的數學問題，它取決於集合的具體性質。在某些情況下，最小元是存在的，而在其他情況下，最小元可能不存在。例如，在整數集合中，存在最小元 -∞（負無窮大），而在有理數集合中，最小元是不存在的。
在討論最小元的存在性時，通常會考慮集合的完備性。一個集合是完備的，如果它包含所有它的上界。在完備的集合中，最小元總是存在的，並且可以通過Zorn's Lemma（佐恩引理）來證明。佐恩引理是一個集合論的定理，它是選擇公理的一個等價形式。
在實際套用中，最小元的概念在許多領域都有重要作用，如算法、資料庫、程式語言、邏輯和集合論等。在編程中，數據結構如堆和二叉搜尋樹被設計用來有效地存儲和檢索最小元或最大元。