一様分佈最尤推定

一様分佈（Uniform Distribution）最尤推定（Maximum Likelihood Estimation, MLE）是統計學中用來估計一様分佈參數的方法。一様分佈是一種連續型分佈，它的機率密度函數（PDF）在定義域內是一個常數。

假設我們有一組觀測值 ( x_1, x_2, \ldots, x_n )，這些觀測值來自一様分佈，分佈的定義域是 ( [a, b] )，其中 ( a ) 和 ( b ) 是分佈的上下限。一様分佈的機率密度函數可以表示為：

[ f(x) = \frac{1}{b - a} ]

對於一様分佈，MLE 用來估計的參數是分佈的上下限 ( a ) 和 ( b )。我們可以通過最大化機率密度函數的乘積來找到這些參數的估計值。因為機率密度函數是常數，所以我們可以將這個乘積簡化為一個常數的乘積，即 ( (b - a)^n )。

為了最大化這個乘積，我們需要找到 ( a ) 和 ( b ) 的值，使得這個乘積最大。這可以通過考慮觀測值的範圍來完成。如果觀測值都在 ( [a, b] ) 內，那麼 ( a ) 和 ( b ) 的值應該分別是最小的最大觀測值和最大的最小觀測值。

具體地說，我們可以這樣做：

1. 找到所有觀測值中的最小值 ( x_{min} )。
2. 找到所有觀測值中的最大值 ( x_{max} )。
3. 設 ( a = x{min} ) 和 ( b = x{max} )。

這樣得到的 ( a ) 和 ( b ) 就是一様分佈的上下限的最尤推定值。請注意，這僅適用於連續型一様分佈，如果數據來自離散型一様分佈，則需要適當的調整。