迭代最小二乘法

疊代最小二乘法是一種用於求解最小二乘問題的算法，它通過疊代的方式逐步逼近最優解。最小二乘問題通常出現在數據分析、信號處理、圖像處理、統計學等領域，其目標是在給定的數據點上找到一個函式，使得該函式與這些數據點的誤差最小。

最小二乘問題的數學表述通常如下：給定一組數據點 $(x_i, y_i)$，其中 $i = 1, 2, \dots, n$，我們希望找到一個函式 $f(x) = \theta_0 + \theta_1 x + \theta_2 x^2 + \dots + \thetan x^n$，使得對於所有數據點，誤差平方和 $\sum{i=1}^n (y_i - f(x_i))^2$ 最小。

疊代最小二乘法可以通過多種方式實現，以下是幾種常見的方法：

1. 梯度下降法（Gradient Descent）：梯度下降法是一種最最佳化算法，用於求解無約束最佳化問題。在最小二乘問題中，我們可以通過計算目標函式的梯度，然後沿著梯度的負方向更新參數，以達到最小化目標函式的目的。

2. 牛頓法（Newton's Method）：牛頓法是一種二階收斂的最佳化算法，它通過求解目標函式的 Hessian 矩陣來找到參數的更新方向。牛頓法在最小二乘問題中通常比梯度下降法收斂更快，但計算 Hessian 矩陣和它的逆矩陣比較複雜。

3. 擬牛頓法（Quasi-Newton Methods）：擬牛頓法是一種近似求解 Hessian 矩陣的方法，它避免了直接計算和存儲 Hessian 矩陣，而是通過疊代的公式來構造一個近似的 Hessian 矩陣。擬牛頓法結合了牛頓法的快速收斂速度和梯度下降法的簡單計算。

4. 共軛梯度法（Conjugate Gradient Method）：共軛梯度法是一種有效的求解大型線性方程組和最小二乘問題的算法。它不需要計算或存儲大規模矩陣，而是通過疊代更新方向來找到最優解。

在實際套用中，選擇哪種疊代最小二乘法算法取決於問題的規模、數據的特點以及計算資源的限制。對於大規模數據集，共軛梯度法和一些擬牛頓法可能更為高效。對於小規模問題，牛頓法和梯度下降法可能是可行的選擇。