設計一個o n 2時間的算法找出由n個數組成的序列的最長單調遞增子序列

要設計一個O(n)時間的算法找出由n個數字組成的序列的最長單調遞增子序列，可以使用動態規劃的方法。以下是一個可能的算法實現：

def find_longest_monotonic_increasing_subsequence(nums):
    if not nums:
        return 0

    n = len(nums)
    dp = [[False] * n for _ in range(n)]  # dp[i][j] 表示以 nums[i] 結尾的子序列是否遞增到 nums[j]
    max_len = 1  # 最長遞增子序列的長度

    for i in range(1, n):
        for j in range(i):
            if nums[j] < nums[i] and dp[j][i-1]:  # 如果 nums[j] 小於 nums[i]，且 dp[j][i-1] 為 True，則可以擴展遞增子序列
                dp[i][i+1] = True  # 將 dp[i][i+1] 設定為 True，表示以 nums[i] 結尾的子序列遞增到 nums[i+1]
                max_len = max(max_len, i+1)  # 更新最長遞增子序列的長度

    return max_len

這個算法的時間複雜度是 O(n)，其中 n 是輸入序列的長度。它使用一個二維數組 dp 來記錄以每個數字結尾的子序列是否遞增到當前位置。通過遍歷輸入序列，我們可以利用 dp 數組來擴展遞增子序列，並更新最長遞增子序列的長度。最後返回最長遞增子序列的長度即可。

注意，這個算法假設輸入序列中的數字都是非負整數。如果輸入序列中包含負數，則需要對算法進行適當的修改。