線性最小二乘估計

線性最小二乘估計是一種參數估計方法，用於估計一個線性模型的參數，使得模型的殘差平方和達到最小。這種方法在統計學和最佳化理論中廣泛套用。

線性最小二乘估計的基本思想是：在模型正確的前提下，利用樣本信息，通過最小化所有參數估計值與真實值之間的平方和，來獲得參數的估計值。這個過程可以通過求解線性方程組得到參數的最優解，也可以使用最佳化算法如梯度下降法等來最佳化。

具體來說，假設我們有一個線性模型 y = Xβ + ε，其中 y 是觀察值，X 是設計矩陣（包含自變數和因變數），β 是我們要估計的參數向量，ε 是誤差項。我們可以通過最小化殘差平方和來估計β，即求解以下方程：β = X^(-1) y，其中 X^(-1) 是 X 的逆矩陣。

值得注意的是，這種方法需要模型的假設是正確的，即模型中的關係確實是存在的，且誤差項 ε 滿足獨立同分布等假設。如果這些假設不成立，那麼估計的結果可能會受到影響。

另外，最小二乘法在統計學中常常套用於線性回歸分析，是一種非常基礎且常用的方法。