無向圖最短路徑

在圖論中，最短路徑問題通常是指在有向圖或無向圖中找到兩點之間的最低成本路徑。對於無向圖，最短路徑通常指的是距離最短的路徑，也就是邊權之和最小的路徑。

在無向圖中，由於邊沒有方向，所以每條邊都可以雙向通行。要找到兩點之間的最短路徑，可以使用以下幾種方法：

1. 廣度優先搜尋（Breadth-First Search, BFS）：

   • 從起始點開始，使用一個佇列來訪問鄰近的未訪問節點。
   • 記錄每個節點的訪問深度，這表示從起始點到該節點的最短路徑長度。
   • 當找到目標節點時，返回記錄的深度，這就是起始點到目標節點的最短路徑長度。

2. 深度優先搜尋（Depth-First Search, DFS）：

   • 從起始點開始，使用一個堆棧來遍歷圖中的邊。
   • 記錄每個節點的訪問深度，這表示從起始點到該節點的最短路徑長度。
   • 當找到目標節點時，返回記錄的深度，這就是起始點到目標節點的最短路徑長度。

3. 迪傑斯特拉算法（Dijkstra's algorithm）：

   • 雖然迪傑斯特拉算法通常用於有向圖，但也可以用於無向圖。
   • 該算法從起始點開始，逐漸擴展到最接近的節點，直到找到目標節點。
   • 它使用一個開啟集和一個關閉集來追蹤已經檢查過的節點和尚未檢查的節點。
   • 對於無向圖，迪傑斯特拉算法會將邊看作是有向的，但方向是隨機的，這意味著它會檢查所有可能的邊方向。

4. 弗洛伊德算法（Floyd's algorithm）：

   • 弗洛伊德算法是一個通用的算法，可以用於有向圖或無向圖，找到所有節點對之間的最短路徑。
   • 該算法通過在每個節點上建立一個中繼來逐步改善路徑，直到找到最短路徑。
   • 對於無向圖，弗洛伊德算法可以直接應用，因為它不需要考慮邊的方向。

這些算法都可以用來解決無向圖中最短路徑的問題。選擇哪種算法取決於圖的特性和所需的時間複雜度。例如，如果只需要找到單個節點對之間的最短路徑，可以使用BFS或DFS；如果需要找到所有節點對之間的最短路徑，可以使用迪傑斯特拉算法或弗洛伊德算法。