期望最大化算法

期望最大化（Expectation-Maximization, EM）算法是一種疊代算法，用於解決含有隱變數的機率模型參數估計問題。該算法通過疊代的方式逐步提高模型的參數估計值，直到收斂。EM算法在許多領域都有套用，特別是在機器學習和數據挖掘中，用於訓練某些類型的機率模型，如混合高斯模型、隱馬爾可夫模型和貝葉斯網路等。

EM算法的步驟如下：

初始化參數：選擇一個合理的參數值θ作為初始估計。
期望（E）步驟：計算隱變數的期望值，即給定觀測數據和當前參數估計值，計算隱變數的條件機率。
最大化（M）步驟：使用在E步中計算出的隱變數期望值，重新估計模型參數，以最大化觀測數據的對數似然函式。
重複：重複E步和M步，直到參數估計值收斂，即兩次連續疊代之間的參數變化小於某個閾值，或者達到最大疊代次數。

EM算法的收斂性並不總是有保證的，但它通常在實踐中表現良好。EM算法的優點是它可以在隱變數未知的情況下估計模型參數，這對於一些複雜的機率模型來說是非常有用的。

EM算法的偽代碼如下：

輸入：觀測數據X，參數初始值θ
輸出：參數估計值θ'

repeat
    E步：計算隱變數Z的後驗分布p(Z|X, θ)
    M步：使用極大似然估計更新參數θ' = argmaxθ p(X, Z|θ)
until θ' is converged

返回參數估計值θ'

EM算法在處理數據挖掘和機器學習中的某些問題時非常有用，特別是當數據包含隱變數或難以直接觀測的變數時。例如，在圖像處理中，EM算法可以用於估計圖像中物體的位置和形狀，這些信息可能無法直接從圖像中觀察到，但可以用來提高圖像分割的準確性。