最速降線公式

最速降線（Brachistochrone）問題是由瑞士科學家丹尼爾·伯努利（Daniel Bernoulli）於1736年提出的，這個問題是在探討如何在給定的兩點之間，找到一條曲線，使得物體從這條曲線的頂端自由下滑到低端所需時間最短。最速降線並不一定是直線，而是由物體的質量和所受的力決定的。

對於質量為m的物體，在重力加速度為g的地球上，最速降線的曲線可以由以下公式給出：

y(x) = (g/2π^2) * ∫[x, b] (1/√(2g(b-y) - (x-y)^2)) dy

其中，x是曲線的起點，b是曲線的終點，y是曲線上的點的高度，∫表示積分運算，從x積分到b。

這個公式是由法國數學家皮埃爾-路易斯·莫佩爾蒂（Pierre-Louis Moreau de Maupertuis）和瑞士數學家歐拉（Leonhard Euler）分別獨立發現的。他們的結果表明，最速降線實際上是等時降線的一種特殊情況，即無論物體的質量是多少，它們從同一點下滑到另一點的時間都是相同的。

在許多情況下，最速降線是一段圓弧，這就是為什麼許多遊樂場的滑梯和過山車軌道都是圓弧形的原因。然而，這個公式適用於更廣泛的曲線形狀，不僅限於圓弧。