最速下降法原理

最速下降法（Steepest Descent Method）是一種最最佳化算法，用於尋找函式的局部最小值。它的原理非常直觀：在當前位置沿著梯度方向（即函式值變化最快的方向）邁出一步，這樣可以最快地降低函式值。

具體來說，最速下降法通過以下步驟疊代進行：

1. 選擇一個起始點x0。
2. 計算當前位置處的梯度（即函式值對各個變數的偏導數）。
3. 沿著梯度的負方向（即梯度下降的方向）邁出一步，更新當前位置x。
4. 重複步驟2和3，直到梯度接近零或者達到一定的疊代次數。

公式表示為：

[ x_{k+1} = x_k - \alpha_k \nabla f(x_k) ]

其中，( x_{k+1} )是下一次疊代的點，( x_k )是當前點，( \alpha_k )是步長（學習率），( \nabla f(x_k) )是函式f在點xk處的梯度。

最速下降法的優點是簡單易懂，實現起來非常容易。但是，它的缺點也是顯而易見的：

• 它並不保證找到全局最小值，只保證找到局部最小值。
• 它收斂速度可能很慢，尤其是在接近最小值時，可能會在梯度較小的方向上反覆震盪。
• 它需要人為選擇步長( \alpha_k )，如果步長選擇不當，可能會影響收斂速度甚至導致算法失敗。

為了解決最速下降法的這些缺點，人們提出了許多改進的方法，如共軛梯度法、牛頓法等。這些方法通過更智慧型地選擇搜尋方向，可以更快地找到最小值，尤其是在光滑且具有良好性質的函式上。