最短路徑演算法floyd

最短路徑演算法Floyd是一種用於尋找圖中最短路徑的算法。它適用於所有類型的圖，包括有向圖和無向圖，並且可以處理包含負權邊的圖。

Floyd算法的基本思想是利用動態規劃的方法，通過不斷更新每個頂點到其他頂點的最短路徑，最終找到最短路徑。算法的核心思想是將原圖中的每對頂點之間的最短路徑表示為一個矩陣，其中矩陣中的每個元素表示從起點到該頂點的最短路徑長度。

以下是Floyd算法的步驟：

1. 初始化：創建一個與原圖頂點數相同的矩陣，並將所有元素初始化為無窮大（或任意其他較大的值）。這是因為我們還沒有開始計算最短路徑，只知道它們比無窮大長。
2. 重複以下步驟直到矩陣中所有元素都被更新：

a. 對於原圖中的每對頂點u和v，更新矩陣中(u, v)位置的值，使其成為u到v的最短路徑長度。這可以通過遍歷原圖中所有與u和v直接相鄰的頂點，並使用以下公式計算得到：min(min(dist[u][w], dist[v][w]) + (u, v) -> w 的權重)如果這個公式意味著要沿著某個邊的負權重返回另一邊的值的話（在這種情況下返回 dist[u][w] 或者 dist[v][w]，而不是帶負權的路徑）。注意這必須是通過以上所述的所有鄰居來實現的，對於對稱邊的權重的平衡通過相等的邊的權重來確定。 b. 如果對於任意一對頂點(u, v)，都有dist[u][v] == original_dist[u][v]，則已經找到了最短路徑，否則重複步驟2。 3. 輸出矩陣中每對頂點之間的最短路徑長度。

Floyd算法的時間複雜度為O(V^3)，其中V是頂點的數量。因此，對於大型圖，Floyd算法可能需要很長時間才能運行。但是，由於它可以在所有類型的圖上工作，並且可以處理包含負權重的圖，因此它在許多實際套用中仍然是一種有用的算法。