最概然速率推導

最概然速率（Most Probable Speed）的概念來自於麥克斯韋-玻爾茲曼分布（Maxwell-Boltzmann Distribution），這是用來描述在一定溫度下，氣體分子的速率分佈。最概然速率是指在這種分布中，具有最大機率的速率。

麥克斯韋-玻爾茲曼分布的公式為：

f(v) = (n/V) (8πkBT/M)^(3/2) exp(-E/kT)

其中：

• f(v) 是速率為 v 的機率密度
• n 是氣體的摩爾數（mol/m^3）
• V 是體積（m^3）
• kB 是玻爾茲曼常數（1.38064852 × 10^(-23) J/K）
• T 是絕對溫度（K）
• M 是分子的質量（kg/mol）
• E = (1/2) M v^2 是動能
• v 是速率（m/s）

最概然速率 vmp 是指當 f(v) 取最大值時的速率。為了找到這個最大值，我們需要對 v 求導數，然後設導數為零，即 d(f(v))/dv = 0。

對 f(v) 求導數，我們得到：

df(v)/dv = (n/V) (8πkBT/M)^(3/2) (-E/kT)^2 exp(-E/kT) (E/kT)^2

設 df(v)/dv = 0，我們得到：

(E/kT)^2 * exp(-E/kT) = 0

因為 exp(-E/kT) 不可能為零（否則機率密度將無意義），所以我們得到 E/kT = 0。這意味著在最概然速率處，分子的動能 E 為零。因此，最概然速率 vmp 滿足：

(1/2) M vmp^2 = 0

這意味著最概然速率 vmp 為零。然而，這與實際情況不符，因為氣體分子總是有一定的動能。實際上，最概然速率是指在麥克斯韋-玻爾茲曼分布中，當機率密度取最大值時的速率。這意味著我們需要找到當 f(v) 取最大值時的速率。

為了找到這個最大值，我們可以對 f(v) 取對數，然後對 v 求導數，並設導數為零。這將給出一個非線性方程，通常需要使用數值方法（如牛頓法）來解這個方程以找到 vmp。

最終，最概然速率的數值解與溫度和分子質量有關。在實際應用中，最概然速率通常不是零，而是大約在所有速率中間的位置。