最尤推定二項分布

"最尤推定"（Maximum Likelihood Estimation, MLE）是一種統計方法，用於估計參數的最大似然估計值。對於二項分布，我們可以使用MLE來估計成功機率p。

假設我們有一個二項分布，其機率質量函式（PMF）為：

P(X = k) = C(n, k) p^k (1-p)^(n-k)

其中，X是二項分布的隨機變數，n是試驗次數，k是成功的次數，p是成功機率，C(n, k)是組合數，表示從n個物品中選取k個的組合數。

使用MLE，我們想要找到使似然函式L(p)最大的p值。似然函式是所有觀察結果出現的機率的乘積。對於二項分布，觀察結果是成功k次，失敗n-k次。因此，似然函式為：

L(p) = p^k * (1-p)^(n-k)

為了找到最大值，我們對p求導，然後令導數為零：

dL(p)/dp = k p^(k-1) (1-p)^(n-k) - (n-k) p^k (1-p)^(n-k-1)

令導數為零，得到：

k p^(k-1) (1-p)^(n-k) - (n-k) p^k (1-p)^(n-k-1) = 0

這個方程通常很難直接解出p。一個常用的方法是使用疊代方法，如鮑姆-沃普爾（Baum-Welch）算法或梯度上升算法來找到最大值。

對於小規模的問題，我們可以通過觀察導數的形式來找到p的近似值。例如，當k << n時，我們可以忽略(1-p)^(n-k)中的低階項，得到：

k p^(k-1) - (n-k) p^(k+1) = 0

解這個方程，我們得到：

p^k * (k - np) = 0

由於p不能為0（因為我們假設p > 0），我們可以解出k = np，這通常是一個很好的近似。然後我們可以使用這個近似值來估計p。

在實際套用中，通常使用統計軟體包或程式語言（如R、Python等）中的MLE函式來估計二項分布的參數。這些工具可以有效地找到最大似然估計值。