最小方差法公式

最小方差法是一種投資組合最佳化方法，其目標是在給定的風險水平下尋找最佳的投資組合，或者在給定的投資組合下尋找最低的風險水平。最小方差法的基本思想是在保持預期收益率不變的情況下，尋找一個投資組合，使得該投資組合的方差最小，即風險最小。

最小方差法的公式可以通過以下步驟來推導：

1. 首先，我們需要定義投資組合的預期收益率和方差。投資組合的預期收益率（mean return）可以表示為投資組合中各個資產的權重和收益率的乘積之和，即： [ \mu_p = w_1 \mu_1 + w_2 \mu_2 + \cdots + w_n \mu_n ] 其中，( \mu_p ) 是投資組合的預期收益率，( w_i ) 是投資組合中第 ( i ) 個資產的權重，( \mu_i ) 是第 ( i ) 個資產的預期收益率。

2. 投資組合的方差（variance）可以表示為投資組合中各個資產的權重和方差的乘積之和，以及資產之間的協方差（covariance）的乘積，即： [ \sigma_p^2 = w_1^2 \sigma_1^2 + w_2^2 \sigma_2^2 + \cdots + w_n^2 \sigma_n^2 + 2w_1w2\rho{12}\sigma_1\sigma2 + \cdots + 2w{n-1}wn\rho{n-1,n}\sigma_{n-1}\sigma_n ] 其中，( \sigma_p^2 ) 是投資組合的方差，( \sigmai^2 ) 是第 ( i ) 個資產的方差，( \rho{ij} ) 是第 ( i ) 個資產和第 ( j ) 個資產之間的相關係數，( \sigma_i ) 和 ( \sigma_j ) 是第 ( i ) 個資產和第 ( j ) 個資產的標準差。

3. 最小方差法的目標是在保持預期收益率不變的情況下，尋找一個投資組合，使得該投資組合的方差最小。這個目標可以通過以下最佳化問題來表述： [ \min_{w_1, w_2, \ldots, w_n} \sigma_p^2 ] [ \text{s.t.} \quad \mu_p = \mu_1 ] 其中，( \mu_1 ) 是目標預期收益率。

4. 通過求解這個最佳化問題，我們可以得到最小方差投資組合的權重。這個問題的解可以通過拉格朗日乘數法或者通過求解相應的偏導數來得到。

最小方差法是現代投資組合理論（Modern Portfolio Theory, MPT）中的一個基本概念，由哈里·馬科維茨（Harry Markowitz）在20世紀50年代提出。這種方法為投資者提供了一種科學的方法來管理投資組合的風險。