最小平方線性回歸

最小平方線性回歸（Minimum Squares Linear Regression）是一種用來估計數據之間線性關係的方法。這種方法通過最小化誤差平方和來尋找最佳的線性擬合曲線（直線），這條線通常稱為線性回歸線。

最小平方線性回歸的目標是找到一條直線，使得所有數據點到這條直線的距離和的平方最小。這個目標可以用一個方程式來表示，稱為最小二乘法方程：

[ \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2 ]

其中，( y_i ) 是實際的觀察值，( \hat{y}_i ) 是根據線性模型預測的值，( n ) 是數據點的數量。

為了找到這條直線，我們需要找到直線的方程式，通常表示為 ( y = ax + b )，其中 ( a ) 是斜率，( b ) 是截距。通過最小化誤差平方和，我們可以解出 ( a ) 和 ( b ) 的值。

最小平方線性回歸的公式如下：

[ \hat{y} = \hat{a}x + \hat{b} ]

其中，( \hat{a} ) 和 ( \hat{b} ) 是通過以下公式估計的：

[ \hat{a} = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(yi - \bar{y})}{\sum{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2} ]

[ \hat{b} = \bar{y} - \hat{a}\bar{x} ]

其中，( \bar{x} ) 和 ( \bar{y} ) 分別是數據集的平均值 ( x ) 和 ( y )。

最小平方線性回歸在許多領域都有應用，包括統計學、數據分析、機器學習和工程學等。這種方法不僅可以用來預測數據，還可以用來理解數據之間的關係。