最小平方法二次

最小平方法（Least Squares Method）是一種數學最佳化技術，用於尋找數據的最佳擬合直線或曲線。在二次最小平方法中，我們通常指的是尋找一個二次函式（即一個二次多項式），它能夠最佳地擬合給定的數據點。

假設我們有一組數據點{(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)}，我們想要找到一個二次函式

y = ax^2 + bx + c

使得函式值與數據點對應的y值之間的誤差最小。這裡a, b, c是我們要找到的係數。

最小平方法的目標是找到這些係數，使得誤差的平方和最小。我們可以定義誤差函式（又稱損失函式）為

E(a, b, c) = ∑(y_i - (ax_i^2 + bx_i + c))^2

我們要找到a, b, c的值，使得E最小。這可以通過求解E對a, b, c的偏導數並令它們為零來實現。

偏導數分別為

∂E/∂a = -2∑(x_i^2(y_i - (ax_i^2 + bx_i + c))) ∂E/∂b = -2∑(x_i(y_i - (ax_i^2 + bx_i + c))) ∂E/∂c = -2∑(y_i - (ax_i^2 + bx_i + c))

令這些偏導數為零，我們可以得到三個方程，然後解這些方程來找到a, b, c的值。

在實際套用中，通常使用數值方法（如梯度下降或直接解線性方程組）來找到這些係數。一旦找到了這些係數，我們就得到了一個二次函式，它能夠最佳地擬合給定的數據點。