最小多項式

最小多項式（Minimal Polynomial）是一個多項式 f(x)，它是關於某個給定的數域 F 上的元素 α 的，並且滿足以下條件：

1. f(x) 不是 α 的多項式因式。
2. 對於任何其他多項式 g(x)，如果 g(x) 不是 α 的多項式因式，那麼 deg(g(x)) 大於 deg(f(x))。

簡單來說，最小多項式是關於 α 的次數最低的多項式，且不能被 α 整除。

最小多項式在代數中有著重要的套用，特別是在域擴張和伽羅瓦理論中。它可以幫助我們確定 α 的周期性，以及 α 的代數閉包等性質。

例如，考慮實數域上的元素 2，它的最小多項式是 f(x) = x^2 - 2。這是因為 f(x) 不是 2 的因式，且任何其他不是 2 的因式且次數小於 2 的多項式（如 x - 1）實際上是 f(x) 的因式。