最小勢能原理

最小勢能原理（Principle of Least Action）是古典力學和量子力學中的一個基本原理，它描述了物理系統在給定初始和終末狀態下，實際發生的過程是所有可能過程中的一個，使得某種泛函（稱為作用量）達到極小值。這個原理是由法國數學家和物理學家約瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph Louis Lagrange）在18世紀中期提出的，因此也稱為拉格朗日原理或拉格朗日函數。

最小勢能原理可以用以下方式表述：對於給定的初始條件和終末條件，一個物理系統的實際運動是所有可能運動中的一個，使得作用量S達到極小值。作用量是拉格朗日函數L對時間的積分，即

[ S = \int_{t_0}^{t_1} L(q(t), \dot{q}(t), t) \, dt ]

其中，( q(t) ) 是物體在時間 ( t ) 上的位置，( \dot{q}(t) ) 是它的速度，( L(q(t), \dot{q}(t), t) ) 是拉格朗日函數，它通常取決於位置、速度和時間。

最小勢能原理不僅適用於古典力學，在量子力學的變分形式（Path Integral Formulation）中也有應用。在量子力學中，作用量被賦予了更深的意義，它與量子態的振幅和相有關。最小勢能原理在描述粒子運動、波動方程、光學和電磁學等方面都有著廣泛的應用。