最小割和最大流

最小割（Minimum Cut）和最大流（Maximum Flow）是網路流問題中的兩個基本概念，它們之間存在密切的關係。

最小割問題： 在一個帶權的有向圖中，找到一個割（即劃分頂點集為兩個不相交的子集），使得被割開的邊的權重總和最小。這個問題在許多最佳化問題中都有套用，例如在圖像分割、機器學習中的特徵選擇等。

最大流問題： 給定一個帶權的有向圖和一個起點的源點 S，一個終點的匯點 T，以及每個邊的容量（流量限制），找到從 S 到 T 的最大流量。最大流問題在許多領域都有套用，例如在物流調度、資源分配等。

最大流和最小割的關係： 最大流和最小割是等價的，即找到一個圖的最大流等價於找到一個圖的最小割。這個結論是由美國數學家David Gale、R. M. Karp、L. S. Larson和F. R. McMorris在1979年證明的。這個等價性可以通過福特-弗ulkerson算法（Ford-Fulkerson algorithm）來證明，該算法通過不斷找到增廣路（augmenting path）來找到最大流。

證明的簡要概述：

1. 給定一個圖 G，我們可以通過福特-弗ulkerson算法找到從 S 到 T 的最大流。
2. 我們可以通過檢查最大流中的每條邊是否滿流來構造一個割。如果一條邊滿流，那麼它屬於割；否則，它不屬於割。
3. 我們可以證明，這個構造的割的容量總和等於最大流的流量。
4. 因此，找到最大流等價於找到最小割。

這個等價性在理論計算機科學和 operations research 中有著重要的套用，它不僅提供了解決最大流問題的一種方法，而且還提供了一種理解網路流問題本質的途徑。