最小作用量原理

最小作用量原理（Principle of least action）是物理學中一個重要的概念，它提供了一種描述力學系統運動的方法。這個原理指出，一個系統的實際運動或過程，是所有可能運動或過程中作用量最小的那一個。作用量是拉格朗日函式（Lagrangian）的積分，拉格朗日函式是動能和勢能之間的差異。

最小作用量原理最初是由法國數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯（Pierre-Simon Laplace）在18世紀末提出的，後來由約瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）推廣。它在經典力學、光學、電動力學和量子力學中都有套用。

在經典力學中，最小作用量原理可以用來推導出牛頓運動定律。在哈密頓力學中，它表現為哈密頓原理。在量子力學中，它表現為費曼路徑積分，其中作用量的作用類似於機率幅的相位。

最小作用量原理的數學表述通常是這樣的：對於一個給定的初始條件和最終條件，一個系統的實際運動或過程是使得作用量S達到極值的軌跡。如果軌跡是時間的函式，那麼作用量可以表示為

S = ∫ L(q(t), \dot{q}(t), t) dt

其中 q(t) 是時間的函式，\dot{q}(t) 是 q(t) 對時間的導數，L(q(t), \dot{q}(t), t) 是拉格朗日函式，它依賴於位置 q(t)、速度 \dot{q}(t) 和時間 t。

如果軌跡是空間中的函式，那麼作用量可以表示為

S = ∫ L(x(s), \dot{x}(s), s) ds

其中 x(s) 是空間的函式，\dot{x}(s) 是 x(s) 對空間的導數，s 是空間坐標，L(x(s), \dot{x}(s), s) 是拉格朗日函式。

在實際套用中，最小作用量原理提供了一種找到力學系統運動方程的方法。通過找到作用量的變分，可以得到系統的歐拉-拉格朗日方程，這些方程給出了系統的動力學行為。