最小二乘法推導

最小二乘法（Least Squares Method）是一種數學最佳化技術，它通過最小化誤差的平方和來尋找數據的最佳函式匹配。在數學上，最小二乘法通常用於線性回歸模型，但也可以擴展到其他類型的回歸模型。

最小二乘法的推導通常涉及以下步驟：

1. 誤差函式定義：首先，我們需要定義誤差函式，這通常是預測值與實際值之間的差異。對於線性回歸模型，誤差函式可以定義為所有數據點誤差的平方和，即： [ E(\beta) = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \hat{y}_i)^2 ] 其中，( y_i )是實際觀測值，( \hat{y}_i )是根據模型預測的值，( \beta )是模型的參數（例如，線性回歸模型中的斜率和截距）。

2. 誤差函式最小化：我們需要找到一組參數( \beta )，使得誤差函式( E(\beta) )最小化。這可以通過求解誤差函式關於( \beta )的偏導數來實現。

3. 偏導數計算：假設線性回歸模型可以表示為( \hat{y}_i = \beta_0 + \beta1 x{i1} + \cdots + \betap x{ip} )，其中( p )是特徵的數量，( x{ij} )是第( i )個數據點的第( j )個特徵。我們可以將誤差函式表示為關於參數( \beta )的函式： [ E(\beta) = \sum{i=1}^{n} (y_i - (\beta_0 + \beta1 x{i1} + \cdots + \betap x{ip}))^2 ] 然後，我們可以對每個參數( \beta_j )求偏導數，並令其等於零，以找到誤差函式的最小值。

4. 解偏導數方程：對於線性回歸模型，我們可以得到以下偏導數方程： [ \frac{\partial E(\beta)}{\partial \beta_j} = 0 \quad \text{for} \quad j = 0, 1, \ldots, p ] 通過解這些方程，我們可以找到使誤差函式最小的參數( \beta )。

5. 普通最小二乘估計：對於線性回歸模型，我們可以使用矩陣運算來簡化計算。通過將數據表示為矩陣形式，我們可以使用矩陣的逆或轉置來解偏導數方程。這通常涉及到使用( X )矩陣（包含特徵向量）和( y )向量（包含觀測值）。

   [ \hat{\beta} = (X^T X)^{-1} X^T y ] 其中，( \hat{\beta} )是參數的估計值，( X^T )是( X )的轉置矩陣，( X^T y )是特徵的線性組合，( (X^T X)^{-1} )是( X^T X )的逆矩陣。

最小二乘法的推導是一個數學上較為複雜的過程，特別是當涉及到矩陣運算時。但是，現代統計軟體和機器學習庫通常提供了現成的最小二乘法求解器，使得用戶不必手動進行這些複雜的計算。