最大模定理的證明

最大模定理（Maximum Modulus Principle）是複分析中的一個重要定理，它說明了複函數在它的有界區域上的最大值只能在邊界上取到。最大模定理的證明通常使用複函數的調和性質和瑞利不等式。以下是一個證明：

設 f(z) 是複平面上一個有界區域 Ω 內的複函數，且 f(z) 在 Ω 的閉包 \bar{\Omega} 上連續。我們要證明 f(z) 的最大值只能在 Ω 的邊界 ∂Ω 上取到。

首先，我們知道 f(z) 在 Ω 內可以表為 f(z) = u(z) + iv(z)，其中 u(z) 和 v(z) 是實值函數，且 u(z) 是調和函數。根據調和函數的性質，u(z) 在 Ω 的閉包 \bar{\Omega} 上連續，並且在 Ω 內可微。

現在，考慮 f(z) 的模 |f(z)| = \sqrt{u^2(z) + v^2(z)}。因為 u(z) 和 v(z) 是實值函數，所以 |f(z)| 的最大值等價於 u(z) 的最大值。

根據瑞利不等式，對於任意的點 z_0 \in \bar{\Omega}，有

u(z0) \leq \frac{1}{2\pi} \int{-\pi}^{\pi} u(z_0 + re^{i\theta}) d\theta,

其中 r > 0 是一個小於 Ω 的最小半徑的數。當 z_0 \in \partial\Omega 時，等號成立。這意味著 u(z_0) 的最大值只能在 Ω 的邊界 ∂Ω 上取到。

因為 f(z) 的模 |f(z)| 的最大值等價於 u(z) 的最大值，所以 f(z) 的最大值也只能在 Ω 的邊界 ∂Ω 上取到。這證明了最大模定理。