最大差值動態規劃

最大差值動態規劃（Maximum Difference Dynamic Programming）是一種用來解決最優化問題的算法。在這種算法中，我們要找出一個序列中最大差值子序列的長度。所謂的最大差值子序列，是指序列中的一段連續的數字，其最大值和最小值之間的差值最大。

舉個例子，假設我們有一個序列 {1, 4, 3, 2, 5, 7}，我們要找出其中最大差值子序列的長度。在這個序列中，最大的差值子序列是 {4, 3, 2}，因為它的最大值 4 和最小值 2 之間的差值是 4 - 2 = 2。這個子序列的長度是 3。

最大差值動態規劃算法的基本思路是使用一個狀態轉移方程來遞歸地計算出每一個數字可以參與的最大差值子序列的長度。狀態轉移方程可以表示為：

dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + abs(a[i] - a[i-1]))

其中，dp[i] 表示以數字 a[i] 為最後一個數字的最大差值子序列的長度，dp[i-1] 表示以數字 a[i-1] 為最後一個數字的最大差值子序列的長度，dp[i-2] 表示以數字 a[i-2] 為最後一個數字的最大差值子序列的長度，abs(a[i] - a[i-1]) 表示數字 a[i] 和 a[i-1] 之間的絕對差值。

初始狀態為 dp[0] = 0，表示空序列的最大差值子序列的長度為 0。

根據這個狀態轉移方程，我們可以遞歸地計算出每一個數字參與的最大差值子序列的長度。最後，我們取 dp[n-1] 作為答案，其中 n 是序列的長度。

以下是一個使用最大差值動態規劃算法的Python實現：

def max_difference_subsequence(sequence):
    n = len(sequence)
    if n <= 1:
        return 0
    dp = [0] * n
    dp[0] = 0
    for i in range(1, n):
        dp[i] = max(dp[i - 1], dp[i - 2] + abs(sequence[i] - sequence[i - 1]))
    return dp[n - 1]

# 示例
sequence = [1, 4, 3, 2, 5, 7]
print(max_difference_subsequence(sequence))  # 應該輸出 3

這個算法的時間複雜度為 O(n^2)，因為我們需要遍歷序列中的每一對數字來計算差值。空間複雜度為 O(n)，因為我們需要一個大小為 n 的狀態陣列來存儲每一個數字參與的最大差值子序列的長度。