最低次插值多項式

最低次插值多項式（Minimum Degree Interpolating Polynomial）是用來在給定的數據點上進行插值的一種方法。這種方法的特點是找到一個多項式，使得這個多項式經過所有的數據點，並且這個多項式的次數是最小的。

給定數據點 $(x_0, y_0), (x_1, y_1), \ldots, (x_n, y_n)$，最低次插值多項式 $p(x)$ 滿足

$$ p(x_i) = y_i \quad \text{for} \quad i = 0, 1, \ldots, n. $$

最低次插值多項式可以通過拉格朗日插值法（Lagrange Interpolation）來求得。拉格朗日插值法的公式為

$$ p(x) = y_0 \ell_0(x) + y_1 \ell_1(x) + \cdots + y_n \ell_n(x), $$

其中 $\ell_i(x)$ 是拉格朗日基函式，定義為

$$ \elli(x) = \prod{\substack{j=0 \ j \neq i}}^{n} \frac{x - x_j}{x_i - x_j}. $$

這個公式保證了 $p(x)$ 經過所有的數據點 $(x_i, y_i)$。

最低次插值多項式的次數為數據點的數量 $n$。如果數據點的數量為 $n+1$ 或者更多，那麼最低次插值多項式的次數將超過 $n$。這種情況下，我們可以通過去掉一個數據點或者使用其他的插值方法來找到一個低次的多項式。