數學最優化

數學最優化（Mathematical optimization）是數學的一個分支，它研究如何從給定的數學模型中找到最佳的解決方案。最佳解決方案可以是最大化或最小化某個函數（稱為目標函數），或者滿足某些條件限制的解。最優化問題可以分為線性與非線性、連續與離散、凸與非凸等類型。

最優化問題的例子包括：

1. 線性規劃（Linear programming）：這是最優化問題的一種，其中目標函數和限制條件都是線性的。
2. 整數規劃（Integer programming）：這是線性規劃的一個特例，其中變量要求為整數。
3. 凸規劃（Convex optimization）：這是另一種最優化問題，其中目標函數和限制條件都是凸的。
4. 機器學習中的參數最佳化：在機器學習中，通常需要找到模型參數，使得預測誤差最小化。
5. 工程設計中的結構最優化：這涉及到找到結構的形狀或材料分佈，以滿足某些性能指標。

最優化問題的解決方法包括梯度下降法、牛頓法、內點法、分支定界法等。這些方法通常需要計算目標函數的梯度或海塞矩陣，或者使用搜尋策略來找到局部或全局最優解。

在實際應用中，最優化問題可能由於其規模、複雜性或數據的不確定性而難以解決。此時，人們可能需要使用近似方法、啟發式算法或模擬退火等方法來找到近似解。此外，最優化問題的研究還涉及到理論分析，如複雜性理論和凸分析等。