基本不等式最值

基本不等式是最最佳化問題中的一個重要工具，它可以幫助我們找到某些代數表達式的最小值或最大值。基本不等式有兩個主要的形式：

1. 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）： 對於任意兩個向量 ( \mathbf{a} ) 和 ( \mathbf{b} )，以及它們的內積 ( \langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle )，有 [ |\langle \mathbf{a}, \mathbf{b} \rangle| \leq |\mathbf{a}| |\mathbf{b}|, ] 若且唯若 ( \mathbf{a} ) 和 \( \mathbf{b} ) 正交時，等號成立。

2. 均值不等式（Mean Value Inequality）： 對於任意兩個正實數 ( a ) 和 ( b )，有 [ \sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}, ] 若且唯若 ( a = b ) 時，等號成立。

這兩個不等式在數學和物理學的許多領域都有廣泛的套用，特別是在最最佳化問題和機率論中。在尋找代數表達式的最大值或最小值時，它們是非常有用的工具。