垂足三角形周長最短證明

在一個直角三角形中，當其直角邊（即垂足）最短時，三角形的周長也最短。這是一個直觀的幾何性質，可以用幾何方法來證明。

證明如下：

設一個直角三角形的三邊長分別為a、b和c，其中c是直角邊（垂足），a和b是兩個斜邊。我們要證明的是，當c最小時，三角形的周長L = a + b + c也最小。

首先，根據勾股定理，我們有： a^2 + b^2 = c^2

由於a、b和c都是正數，當c最小時，a和b也相應地小。因此，當c取最小值時，a和b也取相應的最小值。

現在，考慮一個邊長為c的正方形，將其分成四個小直角三角形，每個小直角三角形的直角邊長為c，斜邊長為√2 c（因為正方形的對角線長度為√2 邊長）。這四個小直角三角形中的任意一個都可以通過旋轉和位移拼合成原來的直角三角形，其中c是直角邊，a和b是斜邊。

由於每個小直角三角形的斜邊長度相等，因此當c最小時，a和b也相應地小，這意味著周長L = a + b + c也最小。

綜上所述，當直角三角形中的直角邊（垂足）最小時，三角形的周長也最短。