在橢圓x 2 4y 2 4上求一點使其到直線2x 3y 6的距離最短

為了在橢圓 x^2/4 + y^2/4 = 1 上找到一點，使其到直線 2x + 3y - 6 = 0 的距離最短，我們可以採用極端值的方法來解決這個問題。

首先，我們需要找到橢圓上的點到直線的距離公式。點到直線的距離可以用點斜式來表示：

d = (y - y₀) / (3/√(2^2 + 3^2))

其中 y₀ 是直線上的一個點的 y 坐標，√(2^2 + 3^2) 是直線的斜率。

為了找到 y₀，我們需要將橢圓上的點代入直線方程中，即找到橢圓和直線的交點。橢圓的方程是 x^2/4 + y^2/4 = 1，將這個方程轉換為標準形式：

x^2 = 4(1 - y^2/4)

將這個方程代入直線方程 2x + 3y - 6 = 0 中，得到一個關於 y 的二次方程：

2(1 - y^2/4) + 3y - 6 = 0

解這個方程，我們可以找到 y₀ 的值。但是，這個方程的解可能不是實數，因為它是二次方程，其判別式可能為負。如果判別式為負，則表示直線和橢圓沒有交點，這意味著我們需要找到橢圓上到直線的垂足距離。

如果直線和橢圓有交點，我們需要找到交點中哪一個點到直線的距離最短。這通常通過找到交點和直線的垂足之間的距離來實現。

如果直線和橢圓沒有交點，我們需要找到橢圓上到直線的垂足距離。這可以通過將直線的斜率與橢圓的斜率進行比較來實現。如果直線的斜率不存在（即直線是垂直的），則橢圓上的任何點到直線的距離都是最短的。如果直線的斜率存在，則橢圓上的點到直線的距離最短的位置是橢圓上與直線斜率相反的點。

總之，要找到橢圓上到直線的距離最短的點，我們需要先確定直線和橢圓是否有交點，如果有，則找到交點中哪一個點到直線的距離最短；如果沒有，則找到橢圓上到直線的垂足距離。