回帰直線最小二乗法

最小二乘法（Least Squares Method）是一種用於擬合數據的方法，它通過最小化誤差的平方和來找到數據的最佳擬合直線。在回歸分析中，最小二乘法用於找到最佳擬合直線，即回歸直線。

給定一組數據點{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，最小二乘法的目標是找到直線y = a + bx的參數a（直線的截距）和b（直線的斜率），使得誤差的平方和最小。這裡，誤差指的是每個數據點到直線的垂直距離。

最小二乘法通過以下步驟找到回歸直線：

1. 計算總和： ( \sum_{i=1}^{n} xi ), ( \sum{i=1}^{n} yi ), ( \sum{i=1}^{n} x_i yi ), ( \sum{i=1}^{n} xi^2 ), ( \sum{i=1}^{n} y_i^2 )

2. 使用這些總和來計算斜率b和截距a： ( b = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i yi - n \bar{x} \bar{y}}{\sum{i=1}^{n} x_i^2 - n \bar{x}^2} ) ( a = \bar{y} - b \bar{x} ) 其中，( \bar{x} )和( \bar{y} )分別是x和y的平均值。

3. 使用計算出的斜率b和截距a來得到回歸直線方程y = a + bx。

最小二乘法找到的回歸直線是所有直線中最好的，因為它使得數據點到直線的距離之平方和最小。這個方法不僅適用於線性回歸，還可以擴展到多元線性回歸和其他類型的回歸分析。