和一定平方和最小

這個問題通常被稱為「和一定，平方和最小」問題，或者更正式地稱為「柯西-施瓦茨不等式」的推論。這個問題是在給定兩個數的和一定的情況下，找出這兩個數的平方和的最小值。

設兩個數分別為a和b，它們的和為S，即a + b = S。我們要找出a^2 + b^2的最小值。

根據柯西-施瓦茨不等式，對於任意實數a和b，都有：

(a - b)^2 ≥ 0

將a + b = S代入上式，得到：

(a - S/2)^2 + (b - S/2)^2 ≥ 0

因為(a - S/2)^2 ≥ 0和(b - S/2)^2 ≥ 0，所以它們的和也≥ 0，即：

(a - S/2)^2 + (b - S/2)^2 ≥ 0

若且唯若a = S/2且b = S/2時，等式成立，此時a^2 + b^2的最小值為(S/2)^2 + (S/2)^2 = S^2/2。

因此，當兩個數的和一定時，它們的平方和的最小值是這個和的一半的平方，即(S/2)^2。