包含集合類的最小sigma代數

在集合論和測度論中，一個集合的σ-代數是包含它的所有子集的一個代數結構，並且包含這個集合的所有可數並集。一個集合的最小σ-代數是指包含這個集合的所有子集的σ-代數，並且不包含任何額外的集合。

給定一個集合S，它的最小σ-代數可以這樣定義：

1. 它包含S本身。
2. 它包含S的所有子集。
3. 它對並集運算封閉，即如果A和B是這個σ-代數中的集合，那麼A ∪ B也是。
4. 它對可數並集運算封閉，即如果A1, A2, ...是這個σ-代數中的集合，那麼∪∞i=1 Ai也是。

對於任何集合S，它的最小σ-代數總是存在的，並且是唯一的。這個σ-代數通常被稱為P(S)，表示所有子集的集合。

例如，如果S = {1, 2, 3}，那麼S的最小σ-代數將包含以下集合：

• S本身：{1, 2, 3}
• S的所有子集：∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}
• S的所有可數並集：例如，{1, 2} ∪ {3} = {1, 2, 3}

因此，S的最小σ-代數將是P(S) = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}。