公因數與最大公因數

在數學中，特別是在整數理論和代數中，公因數和最大公因數是兩個相關的概念，它們用來描述兩個或多個數字之間的關係。

公因數（Common Factor）： 公因數是指同時能夠整除兩個或更多數字的數。例如，24和36的公因數有1、2、3、4、6、12和24。這些數字都能夠整除24和36。

最大公因數（Greatest Common Factor, GCF或GCD）： 最大公因數是指兩個或更多數字的所有公因數中最大的那一個。例如，24和36的最大公因數是12，因為12是所有能夠整除24和36的數中最大的。

找出兩個數字的最大公因數通常可以使用質因數分解的方法。首先將每個數字分解為質因數的乘積，然後找出所有共同出現的質因數，將它們相乘得到最大公因數。

例如，要找出24和36的最大公因數：

24 = 2^3 3^1 36 = 2^2 3^2

從質因數分解中可以看出，24和36都包含的質因數是2和3。在24中有三個2和一個3，在36中有兩個2和兩個3。因此，它們的最大公因數是2^2 3^1 = 4 3 = 12。

在某些情況下，最大公因數也稱為「最大公分母」(Greatest Common Divisor)，特別是在線性代數和數值分析中。在這些情況下，它是用來確保兩個或更多數字可以一起被除而不會產生餘數的數字。