什麼是糾錯碼的最小距離

在信息理論和編碼理論中，糾錯碼的最小距離（minimum distance）是指碼字之間的最低 Hamming 距離。Hamming 距離是兩個碼字中不同位數的數量。最小距離用於衡量糾錯碼的錯誤檢測和糾正能力。

對於一個給定的糾錯碼，碼字之間的最小Hamming距離被定義為碼集中任意兩個碼字之間的Hamming距離的最小值。這個最小距離通常被表示為 dmin 或 d_{min}。

最小距離對於評估糾錯碼的性能非常重要，因為它決定了碼字在傳輸過程中可以容忍的錯誤數量。一般來說，最小距離越大，碼字可以容忍的錯誤就越多。例如，如果一個糾錯碼的最小距離為 d，那麼它可以檢測和糾正 up 至 (d-1)/2 的錯誤位。

在實際應用中，人們通常會選擇最小距離最大的糾錯碼，因為這樣可以在給定的碼率下提供更好的錯誤保護能力。然而，編碼理論的限制表明，對於給定的碼率，存在一個理論上的最小距離上限，稱為Singleton界。實際上，設計者通常會嘗試找到接近這個上限的糾錯碼。