什么是最小二乘问题

最小二乘問題是一種數學最佳化問題，它的目標是通過找到一組參數，使得這些參數與給定的數據之間的誤差平方和最小。這個問題通常用於數據分析、統計學、信號處理和機器學習等領域，用於擬合模型或估計參數。

最小二乘問題的數學表述通常如下：給定一組數據點 $(x_i, y_i)$，其中 $i=1, 2, \dots, n$，我們希望找到一組參數 $\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_p$，使得以下誤差函式最小化：

$$ J(\theta_1, \theta_2, \dots, \thetap) = \sum{i=1}^{n} (y_i - f(x_i;\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_p))^2 $$

其中 $f(x_i;\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_p)$ 是一個模型函式，它依賴於參數 $\theta_1, \theta_2, \dots, \theta_p$，並且對於每個數據點 $x_i$，模型函式會給出一個預測值。

最小二乘問題的解可以通過多種方法得到，包括解析解（當模型函式簡單時）和數值解（當模型函式複雜時）。常用的數值解方法包括梯度下降法、牛頓法等。

最小二乘問題的一個常見例子是線性回歸，其中模型函式是線性函式，參數是係數和截距。在這種情況下，最小二乘問題就是找到這些係數和截距，使得線性模型與數據之間的誤差平方和最小。