交替最小化算法

交替最小化（Alternating Minimization）是一種最佳化算法，用於尋找函式的局部最小值。該算法通過交替最佳化函式的不同分量來疊代地減少函式值。交替最小化算法在許多領域都有套用，尤其是在機器學習和信號處理中，用於解決凸最佳化問題。

交替最小化算法的步驟如下：

1. 初始化：選擇一個初始點作為算法的起點。

2. 交替最佳化：對於函式的每個分量，交替進行以下操作：

   • 固定其他分量，找到當前分量的最優解。
   • 更新整個解，使用新找到的分量的最優解。

3. 疊代：重複上述步驟，直到滿足某個終止條件，例如達到最大疊代次數或者函式值的變化小於某個閾值。

交替最小化算法的偽代碼如下：

初始化：x0為初始點

for t = 0 to T (最大疊代次數)
    for i = 1 to n (分量數量)
        固定其他分量，找到第i個分量的最優解 x_i^(t+1)
    end for
    更新解：x^(t+1) = [x_1^(t+1); ...; x_n^(t+1)]
end for

交替最小化算法的一個典型套用是在交替方向乘子法（ADMM）中，用於解決具有約束的最佳化問題。在ADMM中，交替最小化用於交替更新變數的兩個分量，同時保持其他變數的固定。

交替最小化算法的優點是它簡單、易於實現，並且對於某些問題來說，它比直接最佳化整個函式更快。然而，交替最小化算法並不總是保證找到全局最小值，它可能會卡在局部最小值或鞍點。因此，在實際套用中，通常需要結合其他最佳化技術來提高算法的性能。