二階最小平方迴歸

二階最小平方迴歸（Second-Order Least Squares Regression），也稱為二階多項式迴歸（Polynomial Regression of Degree 2），是一種使用二階多項式來擬合數據點的統計方法。這種方法旨在找到一個最佳的二階多項式，使得這個多項式在給定的數據點上的誤差最小。

最小平方迴歸的基本思想是找到一個模型，使得模型的預測值與實際數據點的誤差平方和最小。在二階最小平方迴歸中，我們使用的模型是一個二階多項式：

[ y = ax^2 + bx + c ]

其中，( a ), ( b ), ( c ) 是我們需要找到的係數。我們可以使用以下公式來計算這些係數：

[ \begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} (xi^2) &= \sum{i=1}^{n} (yi) \cdot a \ \sum{i=1}^{n} (xi) &= \sum{i=1}^{n} (yi) \cdot b \ \sum{i=1}^{n} (1) &= \sum_{i=1}^{n} (y_i) \cdot c \end{aligned} ]

這些公式是通過將最小平方迴歸的目標函數對應係數求偏導數並設置為零得到的。一旦我們有了這些係數，我們就可以使用這個二階多項式來預測數據點的值。

需要注意的是，二階最小平方迴歸並不一定總是最好的模型。在實際應用中，我們可能需要考慮使用更高或更低階的多項式，或者使用其他類型的模型，取決於數據的特性和我們的預測需求。此外，還需要進行模型的選擇和評估，以確保所選模型能夠很好地代表數據，並且在預測新數據時具有較好的泛化能力。