二次函數最大值

二次函數的最大值取決於函數的形狀和它在定義域上的極值。二次函數的一般形式為：

y = ax^2 + bx + c

其中，a、b、c是常數，a不為零。二次函數的圖像是一條對稱軸為x = -b/2a的拋物線。

  1. 如果a > 0，二次函數有最小值，沒有最大值。最小值發生在x = -b/2a處，函數值為y = (4ac - b^2)/4a。

  2. 如果a < 0，二次函數有最大值，沒有最小值。最大值發生在x = -b/2a處，函數值為y = (4ac - b^2)/4a。

  3. 如果a = 0，函數不是二次函數，而是一次函數，它有最大值或最小值，取決於b的值。如果b = 0，函數是常數函數，沒有最大值或最小值。

在實際應用中，二次函數的最大值通常是用配方或導數來求解的。如果函數已經配方，可以直接讀取最大值。如果函數沒有配方，可以通過導數來找到極值點，然後確定最大值或最小值。

例如，考慮函數y = x^2 - 4x + 3。這個函數可以配方為y = (x - 2)^2 - 1，所以最大值為-1，發生在x = 2處。

如果函數沒有配方，例如y = x^2 + 4x + 3，我們可以找到它的導數y' = 2x + 4。設y' = 0，得到x = -2。因為a > 0，函數在x = -2處有最小值。為了找到最小值，我們將x = -2代入原函數，得到y = (-2)^2 + 4*(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = 1。所以，函數的最小值為1，發生在x = -2處。