Qr分解法求最小二乘

QR分解法是一種用於求解最小二乘問題的方法，它可以用來找到線性方程組 Ax = b 的最小二乘解，其中 A 是 m × n 的矩陣，b 是 m 維的向量，x 是 n 維的向量。最小二乘解是指找到一個向量 x，使得 Ax 最接近 b。

步驟如下：

1. 對矩陣 A 進行 QR 分解。這意味著可以將 A 分解為 Q * R 的形式，其中 Q 是 m × m 的正交矩陣，R 是 m × n 的上三角矩陣。

2. 通過 QR 分解，我們可以將 Ax = b 轉換為 Q Rx = Q b。

3. 由於 Q 是正交矩陣，我們可以將 Q * b 視為新的右端向量，記為 y。

4. 現在我們有 Rx = y，這是一個上三角矩陣和向量 y 之間的方程。我們可以使用回代法或直接解這個方程來找到 x 的最小二乘解。

5. 由於 R 是上三角矩陣，我們可以直接通過回代法從 y 的最後一個元素開始向前工作，逐步計算出 x 的值。

這種方法的好處是，即使 A 不是滿秩矩陣，QR 分解法也可以找到 Ax = b 的最小二乘解。此外，QR 分解法在數值穩定性方面表現良好，尤其是在 A 具有特殊結構（如稀疏性或對稱性）的情況下。