A 2+b 2+ab+1/a+b的最小值

為了找到表達式 ( a^2 + b^2 + ab + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} ) 的最小值，我們可以將其重寫為標準形式，以便套用柯西不等式。

首先，我們將表達式重寫為以下形式：

[ a^2 + b^2 + ab + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = (a^2 + ab + \frac{1}{a})(b^2 + \frac{1}{b}) - b^2 \frac{1}{a} - a^2 \frac{1}{b} + 1 ]

現在，我們將表達式中的分數轉換為乘積形式：

[ a^2 + b^2 + ab + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = (ab + \frac{1}{ab})(a + \frac{1}{a})(b^2 + \frac{1}{b^2}) - b^2 \frac{1}{a} - a^2 \frac{1}{b} + 1 ]

接下來，我們將表達式中的乘積形式轉換為和的平方形式：

[ a^2 + b^2 + ab + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = (ab + \frac{1}{ab} + 2)(a + \frac{1}{a} + 2)(b^2 + \frac{1}{b^2} + 2) - b^2 \frac{1}{a} - a^2 \frac{1}{b} + 1 ]

現在，我們可以套用柯西不等式，其中 ( x = a + \frac{1}{a} )，( y = b + \frac{1}{b} )，( z = ab + \frac{1}{ab} )：

[ (ab + \frac{1}{ab} + 2)(a + \frac{1}{a} + 2)(b^2 + \frac{1}{b^2} + 2) \geq (x + y + 2)(y + z + 2)(z + x + 2) ]

將 ( x )，( y )，( z ) 代入上式，我們得到：

[ (ab + \frac{1}{ab} + 2)(a + \frac{1}{a} + 2)(b^2 + \frac{1}{b^2} + 2) \geq (a + \frac{1}{a} + 2)(b + \frac{1}{b} + 2)(ab + \frac{1}{ab} + 2) ]

解這個不等式，我們得到：

[ (a + \frac{1}{a} + 2)(b + \frac{1}{b} + 2)(ab + \frac{1}{ab} + 2) \leq (ab + \frac{1}{ab} + 2)^3 ]

將這個結果代回我們的表達式，我們得到：

[ a^2 + b^2 + ab + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{(ab + \frac{1}{ab} + 2)^3}{ab + \frac{1}{ab} + 2} ]

簡化這個表達式，我們得到：

[ a^2 + b^2 + ab + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq (ab + \frac{1}{ab} + 2)^2 ]

因此，表達式 ( a^2 + b^2 + ab + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} ) 的最小值是 ( (ab + \frac{1}{ab} + 2)^2 )。