2次方程式最小值

二次方程式的最小值可以通過求解其導數來確定。二次方程的一般形式是：

y = ax^2 + bx + c

其中，a、b、c是常數，a ≠ 0。

為了找到最小值，我們需要找到導數為零的點，即方程的駐點。二次方程的導數是：

y' = 2ax + b

令 y' = 0，得到：

2ax + b = 0

解這個方程，得到 x = -b / (2a)。

現在我們需要檢查這個駐點是否是極值點，以及它是極大值還是極小值。我們可以通過檢查導數在駐點兩側的符號來確定。如果導數在駐點處從正變負，那麼這個點是極小值點。如果導數從負變正，那麼這個點是極大值點。

通常，二次方程在 x = -b / (2a) 處有一個極小值。這個極小值就是二次方程的最小值。但是，我們需要考慮 a 的符號。如果 a > 0，那麼最小值就是極小值；如果 a < 0，那麼最小值就是極大值。

為了找到這個最小值的具體值，我們可以將 x = -b / (2a) 代入二次方程中，得到：

y_min = a(-b / (2a))^2 + b(-b / (2a)) + c

簡化這個表達式，得到：

y_min = (-b^2 / (4a)) + (b^2 / (2a)) + c

合併同類項，得到：

y_min = (-b^2 / (4a)) + c - b^2 / (4a) + c

y_min = c - b^2 / (4a)

這就是二次方程的最小值。需要注意的是，這個最小值是在 a ≠ 0 的情況下得到的。如果 a = 0，那麼二次方程變成了線性方程，它沒有最小值或最大值，而是一個恆定值。