配方法求最值

配方法是一種數學技巧，用於解決某些類型的方程或函式，特別是那些涉及到二次項的方程或函式。通過配方法，我們可以將一個二次方程或函式轉化為一個完全平方式，從而求出它的解或找到它的最小值/最大值。

配方法的步驟如下：

  1. 移項：將方程或函式中的二次項放在等式的一邊，其他項放在另一邊，得到一般形式 ax^2 + bx + c = 0 或 f(x) = ax^2 + bx + c。

  2. 配方：將二次項係數除以2，然後平方，得到 (x^2 + b/2x)。

  3. 加上或減去一次項（bx）的一半，使等式的一邊成為一個完全平方式。如果 b 是偶數，則加上一次項的一半；如果 b 是奇數，則減去一次項的一半。

  4. 配方後，等式的一邊是一個完全平方式，另一邊是一個常數。

  5. 通過直接開方或使用平方根的定義，解出 x 的值。

  6. 如果是在求函式的最值，則需要考慮函式的定義域，並檢查二次項係數 a 的正負，以確定函式是否有最大值或最小值。

  7. 對於函式的最值，還需要考慮函式的頂點（如果 a > 0）或區間（如果 a < 0）。

舉個例子，考慮函式 f(x) = 2x^2 - 8x + 5。

  1. 移項：f(x) = 2x^2 - 8x + 5

  2. 配方：加上 (-8x) 的一半，即加上 (-4x)。

  3. 配方：f(x) = 2(x^2 - 4x + 4) + 1

  4. 配方：f(x) = 2(x - 2)^2 + 1

  5. 由於這是一個二次函式，它的頂點是 (2, 1)，這意味著當 x = 2 時，函式取得最小值 1。

  6. 檢查函式的定義域，如果函式有意義，那麼這個最小值就是函式的最小值。

  7. 由於 a > 0，函式確實有一個最小值，這個最小值就是在 x = 2 時取得的。

請注意，配方法適用於二次方程或二次函式，對於更高次或更複雜的方程或函式，可能需要使用其他方法來求解或找到最值。