線性規劃最佳解

線性規劃（Linear Programming, LP）是一種數學規劃問題，它的目標是在給定的線性限制條件下，尋找一個數學模型的最佳解。最佳解的定義取決於問題的目標函數，可以是最大化或最小化一個線性目標函數。

線性規劃問題通常可以表示為以下形式：

[ \begin{aligned} \text{最大化} \quad & z = c^Tx \ \text{subject to} \quad & Ax \leq b \ & x \geq 0 \end{aligned} ]

其中：

• ( x ) 是決策變量向量，( x = (x_1, x_2, \dots, x_n)^T )，( x_i ) 是每個變量的取值。
• ( c ) 是目標函數係數向量，( c = (c_1, c_2, \dots, c_n)^T )，( c_i ) 表示每個變量的權重。
• ( A ) 是限制條件係數矩陣，( A \in R^{m \times n} )，( A_{ij} ) 表示第 ( i ) 個限制條件對應於第 ( j ) 個變量的係數。
• ( b ) 是限制條件向量，( b = (b_1, b_2, \dots, b_m)^T )，( b_i ) 表示第 ( i ) 個限制條件的右邊項。
• ( \leq ) 表示小於等於或等於，根據問題的具體情況而定。
• ( z ) 是目標函數的值，可以是最大值或最小值。
• ( x \geq 0 ) 表示所有決策變量都是非負的。

線性規劃的最佳解通常可以使用圖解法、簡單對偶法（Simplex method）、內點法（Interior Point Method）或各種演算法來找到。這些方法可以幫助我們找到滿足所有限制條件且目標函數值最大的解。

在實際應用中，線性規劃被廣泛用於運輸、生產排程、資源分配、投資組合選擇、機器學習等領域，以尋求在給定資源和限制條件下的最佳決策。